8.18 بوزے اور فرمی شماریات کی جڑیں

ہوم ／ باب:8 وہ نظریات جو توانائی کے ریشوں کا نظریہ چیلنج کرے گا

تین مرحلوں پر مشتمل مقصد:

• ایک مشترک بنیادی تصویر پیش کرنا جو سمجھائے کہ کچھ خرد انگیختگیاں خوشی سے ایک ہی کنواں یا ایک ہی مَوْد داخلہ بانٹتی ہیں بوزے انداز میں، جب کہ کچھ دوسری اس سے گریز کرتی ہیں فرمی انداز میں۔
• رائج بیان میں موجود فطری فہم کی کمی دکھانا اور یہ کہ کم ابعادی نظاموں، مرکب ذرّات اور کنارہ یا ماحول کے نزدیک وضاحت کی لاگت کیوں بڑھ جاتی ہے۔
• توانائی کے سوتوں کا نظریہ استعمال کرتے ہوئے “توانائی کا سمندر — تپّے کے ٹانکے اور شکن کی لاگت” کی تصویر کے ساتھ قصہ نئے سرے سے بیان کرنا، اور ایسے اشاریے دینا جو تجرباتی طور پر پرکھے جا سکیں، نیز اس کے نظریۂ غالب پر اثرات واضح کرنا۔

I. رائج توضیح کیا کہتی ہے

• درسی کتب “ساتھ رہنا یا دور رہنا” کو ذرّات کی الٹ پھیر کے وقت حالتِ کوانتم کے طور پر اور اسپِن کی نوعیت کے ساتھ جوڑتی ہیں۔ جن حالتوں میں الٹ پھیر کے باوجود علامت برقرار رہتی ہے وہ بوزونی طرز دکھاتی ہیں، اور جن میں علامت پلٹ جائے وہ فرمیونی طرز اختیار کرتی ہیں۔
• یہ بیان قابلِ حساب ہے اور تجربہ میں بھی درست ٹھہرتا ہے، تاہم ٹھوس طبعی تصویر سے دور ہے۔ دو بُعدی نظاموں، مرکب ذرّات اور کنارے یا ماحول کے اثرات میں جگہ جگہ پیوند لگانے پڑتے ہیں اور فہم کی رَو منقطع ہو جاتی ہے۔

اس کے بعد “ساتھ رہنا یا گریز کرنا” صرف توانائی کے سوتوں کے نظریے کی ایک ہی طبعی بصیرت کے ذریعے واضح کیا جائے گا۔

II. مشکل کہاں جنم لیتی ہے — فہم کے مقابل پیوند کاری

• فہمی خلا: “الٹ پھیر میں علامت بدلے یا نہ بدلے” آخر کیوں طے کرے کہ انگیختگیاں ایک ہی کنواں بانٹنا چاہتی ہیں یا نہیں۔ بہت سے قارئین محض مجرد قواعد پر رُک جاتے ہیں۔
• کم ابعاد اور راستوں کی بُنت: دو بُعدی مادّوں میں بوزے اور فرمی کے بیچ کی درمیانی شماریات سامنے آتی ہے؛ مزید طوبُولوجیائی تصورات درکار ہوتے ہیں اور براہِ راست احساس کا سلسلہ ٹوٹتا ہے۔
• مرکبات اور “غیرِ مثالی بوزون”: دو فرمیون مل کر بظاہر مؤثر بوزون بن سکتے ہیں، مگر زیادہ تداخل پر مثالی باہم سکونت سے انحراف نمودار ہوتا ہے اور بیان پیچیدہ بنتا ہے۔
• ماحولی اجزا: آلے کی سمت، دباؤ کی بناوٹیں اور کناروں کی کھردراہٹ چھوٹے مگر دہرائے جا سکنے والے اختلافات لاتی ہیں جنہیں ایک ہی تصویر میں سمو دینا مشکل ہوتا ہے۔

III. توانائی کے سوتوں کا نظریہ دوبارہ تشکیل کیسے دیتا ہے — ایک یکساں داخلی زبان

ایک جملے کی تصویر
دنیا کو توانائی کا سمندر سمجھیں۔ ہر خرد انگیختگی باریک لہروں کا ایک گُچھّا ہے جس کے کنارے پر خاص بناوٹ ہوتی ہے۔ جب دو ایک جیسے گچھّے اسی چھوٹے کنویں یعنی اسی مَوْد میں سمٹنے کی کوشش کرتے ہیں تو سمندر کی سطح کو چناؤ کرنا پڑتا ہے: آسان ٹانکا یا جبری شکن۔

• پوری ہم مرحلہ صف بندی — بوزے صورت: کناروں کے نمونے یوں جڑ جاتے ہیں جیسے زِپ کی پٹّی، نئی شکن کی حاجت نہیں؛ وہی ہیئت بس اوپر اوپر چڑھتی جاتی ہے۔ یہ ہے آسان ٹانکا۔
• نصف مرحلہ بے ہم آہنگی — فرمی صورت: جہاں تداخل ہو وہاں نمونے ٹکرا جاتے ہیں؛ سطح کو شکن یا گِرہ اٹھانی پڑتی ہے، یا ایک گچھّا ہیئت بدل کر دوسرے کنویں کی راہ لیتا ہے۔ یہ ہے جبری شکن۔

1. بوزون ساتھ کیوں رہتے ہیں
   • ایک ہی کنواں، ایک سی ہیئت: آسان ٹانکا یعنی مزید شکن نہیں، انحنا وہی رہتا ہے؛ صورت صرف قد میں بڑھتی ہے۔
   • جتنا زیادہ انبار، اتنی کم اوسط لاگت: ہر انگیختگی پر انحنا کی لاگت گھٹتی ہے، اس لیے زیادہ سے زیادہ اکائیاں اسی کنویں کا انتخاب کرتی ہیں۔ اسی سے ہم سازی، تحریکی اضافہ اور تکاثف جنم لیتے ہیں۔
2. فرمیون ایک دوسرے سے کیوں کتراتے ہیں
   • ایک ہی کنویں میں شکن لازم آتی ہے: جبری شکن مقامی انحنا کو تیز کرتی ہے اور لاگت بڑھا دیتی ہے۔
   • سستا راستہ: مختلف کنویں آباد کرنا یا ایک گچھّے کے کنارے کا نمونہ بدل دینا — دوسری حالت، سمت یا درجے میں جانا۔ بڑے پیمانے پر یہ باہمی اجتناب اور قرینے سے بھراؤ کی صورت بنتی ہے۔
   • نچوڑ: کوئی اضافی پوشیدہ قوّت نہیں؛ یہ خالص ہیئتی لاگت ہے، کیونکہ اکٹھا رہنا خود شکن کو لازم کرتا ہے۔
3. دو بُعد میں بُنت فطری طور پر کیوں ابھرتی ہے
   دو بُعدی حال میں راستوں کے امکانات زیادہ ہیں۔ ٹانکا محض دو رخی نہیں؛ “آسان ٹانکے” اور “جبری شکن” کے بیچ کئی درجے بنتے ہیں۔ اوپری منظر میں بوزے اور فرمی کے بیچ کی شماریات دکھتی ہے، مگر اندرونی سوال وہی رہتا ہے کہ سطح کو ہموار سی دیا جا سکتا ہے یا تہہ ڈالنا لازم ہے۔
4. مرکبات میں “غیرِ مثالی بوزون” کا مفہوم
   • دو آدھی مرحلہ بے ہم آہنگ اکائیاں جب جوڑا بنتی ہیں تو بے ہم آہنگی کسی حد تک کٹ جاتی ہے اور جوڑا ٹانکے کے لیے موزوں دکھائی دیتا ہے — بوزون جیسا۔
   • مگر جب جوڑے باہم بہت زیادہ متداخل ہوں تو اندرونی بے ہم آہنگی باہر جھلکتی ہے: تکاثف کے درجۂ حرارت، اشغال کی چोटी کی ہیئت اور ہم گیری کی طوالت میں باریک تبدیلیاں دکھتی ہیں۔ اصل معاملہ پھر بھی ٹانکے اور شکن کی لاگت کا حساب ہے۔
5. ماحول اور کناروں کو ایک ہی نقشے پر کیسے پڑھیں
   • سمت، دباؤ کی بناوٹ اور کنارہ کی کھردراہٹ ٹانکے یا شکن کی لاگت میں چھوٹی مگر دہرائے جا سکنے والی باریک ٹھیکیاں شامل کرتی ہیں۔
   • یہ ذرا ذرا سے فرق مل کر پس منظر کے دباؤ کے نقشے کی طرف اشارہ کرنے چاہئیں: صفِ اوّل مستقل رہتی ہے اور قاعدہ برقرار، جب کہ صفِ اوّل کے بعد والی رَو ماحول کے ساتھ آہستہ آہستہ کھسکتی ہے۔

اشاریے جو آزمائے جا سکتے ہیں — تجربہ کے لیے مضبوط گرفتیں

• اکٹھا انبار لگانا بمقابلہ باری باری داخلہ: سرد اٹموں کے نظام یا نوری گُہا میں دیکھیں کہ اسی مَوْد میں داخلہ اشغال بڑھنے پر کیسے بدلتا ہے۔ جو اقسام ٹانکے سے موافق ہوں وہ جوں جوں جگہ بھرتی ہے اور آسانی سے شامل ہوتی ہیں؛ جبری شکن والی اقسام تبھی داخل ہوتی ہیں جب واقعی جگہ نکلے۔
• گروہ بندی بمقابلہ ضدِّ گروہ بندی: باہمی تعلق کی تصویری پیمائش میں ٹانکے کی موافق اقسام زیادہ جتھہ بناتی ہیں، جب کہ شکن والی اقسام بکھرنے لگتی ہیں۔
• بڑی پیمانے کا “حدِّ قطار”: نہایت کم درجۂ حرارت پر بھی بعض نظام مزید دباؤ قبول نہیں کرتے — زیادہ دبانا مزید شکنوں اور ہیئتی تبدیلیوں کا تقاضا کرتا ہے اور کُل لاگت چھلانگ لگا دیتی ہے۔
• دو بُعدی بُنت بمعہ سمت کے ہم اشارے: اثرِ ہالِ کوانتم کے رجیم، ٹاپولوجیائی فوق موصل یا مویرے نظام میں بُنت کی پیمائش اور آلے کی سمت یا بناوٹ کے بیچ کمزور مگر بار بار ملنے والی باہمی نسبتیں تلاش کریں۔
• مرکب بوزونوں کی غیرِ مثالیّت کا منحنیہ: بوز آئنسٹائن تکاثف — باردین کوپر شریفر کی گذرگاہ کے پار یا کثیف باریک جھلیوں میں جوڑے کے سائز اور باہمی تداخل کو بدلیے، پھر تکاثف کی دہلیز، اشغال کی چوٹی اور ہم گیری کی طوالت میں تبدیلیوں کو ایک ہی پس منظر نقشے پر منظم طور پر ثبت کیجیے۔ پہلی بار کے بعد اسی مکمل نام ہی کا استعمال کیجیے۔

IV. نظریۂ غالب پر اثرات — مختصر بیان

• مجرد قاعدے کو طبعی سطح پر اتارنا: “الٹ پھیر پر علامت باقی رہے یا پلٹے” کو اس سوال میں ڈھالنا کہ توانائی کا سمندر ہموار سی دیا جا سکتا ہے یا تہہ لگانا لازم ہے، یوں ہیئتی لاگت کی چھُوٹی جا سکنے والی توضیح ملتی ہے۔
• کم ابعاد اب استثنا نہیں: جزوی شماریات زیادہ راستہ آزادی کی پیداوار ہے، نئی نظریہ سازی کی مجبوری نہیں۔
• مرکبات کی یکساں قرأت: مؤثر بوزونوں کی “غیرِ مثالیّت” بڑی تداخل پر اندرونی بے ہم آہنگی کی واپسی ہے، جو اسی پس منظر نقشے سے میل کھاتی ہے۔
• ماحولی اجزا ایک ہی نقشے پر: سمت، دباؤ اور کناروں کے اثرات مختلف پیمائشوں میں مل جل کر اشارہ کریں، جدا جدا پیوند نہ مانگیں۔
• کسی نئی قوّت کی حاجت نہیں: ساتھ رہنا یا گریز کرنا ٹانکے کی لاگت سے اُبھرتا ہے؛ لہٰذا اضافی دافع قوّت ماننے کی ضرورت نہیں۔

خلاصہ یہ کہ

توانائی کے سوتوں کے نظریے کی سادہ بصیرت میں “بوزے بانٹتا ہے” اور “فرمی کتراتا ہے” کی جڑ یہ ہے کہ مشترک کنواں شکن کو لازم کرتا ہے یا نہیں۔

• آسان ٹانکا — شکن کے بغیر: ایک سی ہیئتیں اوپر اوپر چڑھتی ہیں؛ جتنا زیادہ انبار، اتنی کم اوسط لاگت — بوزے صورت۔
• جبری شکن — لاگت میں چھلانگ: کنویں جدا کرنا یا ہیئت بدلنا سستا پڑتا ہے — فرمی صورت۔

دو بُعدی رویّے، مرکب ذرّات اور ماحول کے باریک فرق سب ایک ہی پس منظر نقشے پر ٹانکے بمقابلہ شکن کی لاگت کی تبدیلیوں کے طور پر ہم آہنگ دکھائی دیتے ہیں۔ یوں “شماریات” مجرد نعرے سے نکل کر ایک نظر آنے والی، قابلِ تقابل اور دوبارہ پرکھی جا سکنے والی طبعی تصویر بن جاتی ہے۔